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同じ誕生日

Facebookというまぁ、mixiのようなmixiのようじゃないようなサイトがあるんですが、今のところ、120人ほど自分の友達が登録してあります。先月のある日、そのうち3人の誕生日だったんですね。

高校の友達1人、大学から1人、大学院から1人で3人だったのが面白かったんですがそれはともかく。120人の人がいて、そのうち3人の誕生日が重なる、という確率はどれくらいあるんだろう、と考えてみたんです。


まずもっと簡単な問題から、2人の誕生日が重なる確率は、人間の直感がこういった確率を捉えるのに適していないという話に使われる、結構有名な問題です。

何人かの人をデタラメに集めた時には、そのうち誰か2人の誕生日が重なる確率を計算する事が出来ます。2人の時、この確率が365分の1なのはわかりますよね?人数を増やせば増やすほど、この確率は上がっていって、366人まで増えると、誰か2人が重ならないといけないので確率は100%になります。

では、何人集まった時に、その中で誰か2人の誕生日が重なる確率が50%を超えるでしょうか

直感で数字を書いてみてください。

(注)2月29日は問題を単純にするために無視。あと、誕生日の分布はフラットではないです。例えば、3月2日生まれの人の数と、9月20日生まれの人の数は微妙に違います。













答えは、23人です。直感的には、そんなはずはない、と思うほど小さい数字ですよね?

この問題で曲者なのは、23人の中から、2人組を選ぼうとすると、かなりの数の選び方がある事です。

2人組の最初の1人を選ぶには、23の選択肢があります。
2人目を選ぶには、最初に選んだ人は選べないので、22の選択肢があります。

23×22通りあるようですが、AさんとBさんを選ぶのと、BさんとAさんを選ぶのは同じ事なので、これを別々の2人組と数えないために2で割ります。

23人のうち2人を選ぶ方法は、23×22÷2=253通りあるという事です。この253の2人組のうち、1つでも誕生日が重なれば、23人の中の誰か2人の誕生日が重なる事になります


この確率を計算するには、実は、誰の誕生日も重ならない確率を計算するほうが速いです。

2人組の誕生日が重ならない確率は、365分の364。

2つの2人組があって、どちらの組でも誕生日が重ならない確率は、それぞれの確率を掛け合わせればいいので、(365分の364)×(365分の364)。

253の2人組全部で、誕生日が重ならない確率は、この数字を253回掛けた数字、(365分の364)の253乗になります。計算してみると、
(364/365)253 = 0.4927...

23人のうち、誰か2人の誕生日が重なる確率は、どの誕生日の重ならない、って事が起きない確率なので、上の数字を1から引けば出てきます。
1-0.4927... = 0.5073...


23人の人をデタラメに集めると、50.73%の確率でそのうち誰か2人の誕生日が一致する、という結果が出ました。そんなはずはない、とまだ思っている方がいたら、検証する方法はいくつかあります。コメントで聞いてください。



3人の誕生日が重なるかどうかは、もっと難しいのでここでは書きません。

実のところ、力ずくで解く方法はもう分かっているんですが、もう少しエレガントな解が無いかな、と模索中ですし。


2人が出来たんだから簡単じゃん、と思っている数学が得意な人のために追記。3人の場合に問題なのは、3人組の誕生日が重なる確率というのが、独立ではない事。

Aさん、Bさん、Cさんの誕生日が同じ確率は、365分の1の2乗です。

ただ、この3人の誕生日が一緒だと分かっている場合の、Aさん、Bさん、Dさんの誕生日が同じ確率を考えてみると、AさんとBさんの誕生日が同じ事はもう分かっているので、Dさんがその2人と同じ誕生日を持っている確率、つまり365分の1なんです。

3人組の誕生日が重なる確率が独立ではないので、2人の場合のように、確率を単純に掛け合せてはいけない事になります。まぁ、単純にやっても近似解にはなると思われます。ただ、そうやる場合は誤差がどれくらいあるのか求めないと。

テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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No title

お久しぶりです。
余事象(誰も誕生日が重ならない確率)の方から考えると、意外と少ない数字になると記憶しています。
50人くらい??
#教養部時代の数理統計の講義で、1クラス60人で同じ誕生日が1組いました。先生が「こんなもんだ」と言っていたと思います。
(ひ)

No title

あ、下の方に答えがありましたね。

(ひ)さん

お久しぶりです。

意外と少ない、と分かっていても、さらに予想を下回る数字なんですよね(笑)

60人の授業を教えていれば実験が出来ますが、そうでなくても検証出来ます。Excelには乱数の関数があるので、「=365*Rand()」、とマスに入力すると、0から365までの実数がランダムに出てきます。数字の整数部分が、誕生日に対応すると考えると、ランダムに誕生日を生成出来るんですね。

23個のマスにこれを書き込んで、整数部分が同じ数字があるかどうか調べてみると、大体半分のケースで見つかるはずです。
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アシュリー

Author:アシュリー
カリフォルニア州バークリー在住、元スポーツジャンキーのアシュリーです。

今観るスポーツは、アーセナル(サッカー)とグリズリーズ(バスケ)、あとテニス。

専門の物理ネタ以外にも、色々書いていくつもりです。

Twitterをハンドル名Inoueianでやっています。

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