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コイントスで3択

床屋が近所に3つもあって、どれをまず試そうか迷ってます。

コイントスするわけにもいかないし、と思ったんですが、考えてみたらそんな事はないんですね。コイントスを繰り返せば、3つのうち1つを、それぞれ3分の1の確率で選べるんです。

どうやったらいいのか、考えてみてください。答えは↓続きにあります。









表(heads)をH、裏(tails)をTと書きます。

2回コイントスした場合、あり得る結果は、
HH
HT
TH
TT
の4つ。

2回トスしたあと、
HHが出たら床屋A
HTが出たら床屋B
THが出たら床屋C
と決めます。(別に、どの組み合わせを選んでも一緒です)

2回トスしたあと、それぞれ4分の1の確率で床屋A、B、Cを選ぶ事になって、残る4分の1の確率でTTが出てまだ未定、という事に。

で、TTが出た場合は、リセットしてやり直すんです。3つの床屋を公平に選んでいるのは明らかだと思います。(表と裏の確率がちゃんと半々なら)


この方法だともちろん、ずっと裏が出続けた場合、床屋を選べずに続きます。でも、この可能性はトスの回数が増えるたびに半分に減っていきます。

例えば、10回トスして、裏が出続ける確率は、(1/2)10 = 1/1024。10回のトスで床屋が決まらない事は、ほぼ1000回に1回しか無いんです。


以下、特に数学好きな人向けの補足。思いつきをいつもよりダラダラ書きました。

何回でもコイントス出来るとして、それぞれの床屋を選ぶ確率が3分の1になるのは、この方法が公平な事と、選べない確率がトスの回数を増やせば0に収束する事から分かります。

でも数学好きな人は、等比級数だな、とも即座に思ったはず。

2回目のトスで床屋Aを選ぶ確率は4分の1。
4回目のトスで床屋Aを選ぶ確率はTTHHの順で出る確率なので16分の1。
全ての自然数nについて、(2n)回目のトスで床屋Aを選ぶ確率は(1/4)nだというのが分かります。等比級数の値を求める公式を思い出して

(床屋Aを選ぶ確率) = (2回目で床屋Aを選ぶ確率) + (4回目で床屋Aを選ぶ確率) + (6回目で床屋Aを選ぶ確率) + ...
= 1/4 + 1/16 + ... + (1/4)n + ...
= (1/4) / (1 - 1/4) = 1/3
となります。めでたしめでたし。


似たような方法を使えば、3択より選択肢が多い場合も選べます。常に確率が公平になるようにトスの結果を選択肢に対応させていけば、n個の選択肢をそれぞれn分の1で選べます。

確率を公平でなくしても、もちろん可能です。コイントスの結果を2進法の小数として、[0,1] → {選択肢}の関数を定義すれば、どんな確率分布でも表現出来ます。それぞれの選択肢の逆像集合の大きさが希望の確率と等しくなるように関数を選べば良いので。

出来るだけ桁の少ないうちに区別が出来るように関数を選ぶのは別問題です。3択の解として上に書いた方法を関数として表すと、それぞれの選択肢に対応する逆像集合はフラクタルになります。これのように、2進法での表現に適したフラクタルなら良いですが、2進法と全然関係のないフラクタルを使うと痛い目を見そうです。

テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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????

こんばんはe-68 アシュリーさんは数学にとてもお強いので羨ましい・・ 

ワタシなら・・・コイントスでTTが出たら・・・よその町に行って店を探す・・か。。。な??(笑)

sakiちゃん

いや、実際にこれで選んだわけじゃないですよ(笑)というか、まだ決めてません。数学の問題として、こういった事が出来るのかな、と考えただけです。

TTTTが出るのでも16分の1の確率しか無いんで、問題無いと思いますよ。繰り返すだけなので手順としても簡単ですし。
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プロフィール

アシュリー

Author:アシュリー
カリフォルニア州バークリー在住、元スポーツジャンキーのアシュリーです。

今観るスポーツは、アーセナル(サッカー)とグリズリーズ(バスケ)、あとテニス。

専門の物理ネタ以外にも、色々書いていくつもりです。

Twitterをハンドル名Inoueianでやっています。

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