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解答編 モンティー・ホール問題

まだ問題を見てない人はこっち




ちょっと聞き方が不完全でしたね。
扉を換えた方がいい、という所はみんな正解でした。

でも、確率まで含めての正解は、
最初の回答者だったハルオさんが書いた答です。

司会者が選ばなかったひとつを選ぶのがベストじゃないかな
最初に選んだ奴は単純に1/3
残りのふたつは2/3な訳ですから
そこから不正解をひとつ、外すわけだから、司会者が開けなかった方の確率は実質、2/3かと


これが一番簡潔な答え方でしょうね。

最初の扉を選ぶ時点では単純に3択なので、
景品がその後ろにある確率は3分の1。
そのあと司会が何をしようと、この確率が3分の1なのは変わりません。

最初の扉がハズレだった場合には、
確実に残ったもう片方の扉に景品があるので、これの確率は3分の2。
つまり、乗り換えた方が、2倍当たる確率が高くなる、という事です。


(以下、編集中におかしな事になったので書き直しました)
swearingさんのコメントにあるように、
パラドックスだといわれる事があるわけですが、
それは多分こういう事です。

番組の途中でチャンネルを合わせた人がいて、
その人は、1つの扉が開いているのを見て、
2つの扉どちらかの後ろに景品が置いてある、と聞かされたとします。

その人の知る限りでは、景品が扉の後ろにある確率は半々です。
1つの扉が開く事になった経緯を知っているかどうかで、
確率が変わってしまうわけです。

持っている情報によって、確率の見積もりが変わると言うのはある意味当然ですが、
一見なにも違わないようなところで、これだけ違いが出る、
と言うのが少し意外かと思います。


見方を変えると、司会は手助けをしてくれている、と言えます。

最初の扉がハズレだった場合、
司会はもう1つのハズレがどちらなのか教えてくれているわけです。
こっちじゃなくて、もう片方に乗り換えればアタリですよ、と。


この問題の面白いのは、
数学に通じているはずの人でも、大間違いをする場合がある事です。

Wikipediaの記事に少し書いてありますが、
この問題が雑誌のコラムで正しい解答と共に紹介された時、
数学の博士号を持っている人達が、間違った答えを書くな、と抗議の手紙を書いたんです。

ポール・エルデシュは、20世紀の偉大な数学者の1人ですが、
彼も、この問題の答えを最初に聞いたとき、そんなはずは無い、と反応したとか。

こういう話を聞くと、
人間の頭は、確率を直感的に正しく理解するようには出来ていないのだ、と思うわけです。


この辺だと、ナシーム・ニコラス・タレブの本が面白いです↓

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↓は、まだ和訳がなくて、ちょっと上の「まぐれ」と重なる部分も多いですが、
数学的にはもう少ししっかりしています。

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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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No title

正解でよかったー
ちなみに最初は五分五分だろうと、入力してから途中で気がついて書き直してます
感覚的な先入観が働くと理論的な思考は一気に鈍りますね

No title

ご指摘を受けてから、トータル100%ならばやっぱり五分五分、かと思っていました。泥沼?
司会者は手助けをしているかもしれませんが、話題を提供するという意味では貢献大ですね。実際こうやって議論されているわけですから。
いつも面白いアイディアをありがとうございます。ビール飲みながらいろいろ噛みしめてみます。(ひ)

ハルオさん

特に確率に関しては、
直感で選ぶとおかしな事になると思います。

例えば、23人のクラスの中に2人、
同じ誕生日の人がいる可能性は、と聞かれたら、
直感的には10%くらいですよね。
正解は、約50%です。

(ひ)さん

なぜ確率が半々でないかの説明には、こういうのもあります。

3つの扉ではなく、100個の扉でこのゲームをします。
あなたが扉を1つ選んだあと、
司会は選ばれなかった99の扉のうち98個を開けて、
景品が無いのを見せます。

これなら、乗り換えた方が良いのはもっと明らかだと思います。
当たる確率は、そのままなら100分の1、
乗り換えれば100分の99になります。

3つの扉の場合は、
司会がドアを開けるのが些細に見える部分があると思います。
だからこそ良い問題なんですが。
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プロフィール

アシュリー

Author:アシュリー
カリフォルニア州バークリー在住、元スポーツジャンキーのアシュリーです。

今観るスポーツは、アーセナル(サッカー)とグリズリーズ(バスケ)、あとテニス。

専門の物理ネタ以外にも、色々書いていくつもりです。

Twitterをハンドル名Inoueianでやっています。

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