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モンティー・ホール問題

その筋ではまあまあ知られてる問題です。
知ってたら、答えないで下さいね。


あなたは、テレビのゲーム番組に出演しています。
このゲームでは、3つの扉があって、
そのうち1つの扉の向こうに景品が置かれています。

まず、あなたが扉を1つ選びます。(まだ開けない)
次に、司会が残った扉2つのうちの1つを開けて、
そこには景品が無いのを見せてくれます。

最後に、閉じたままの2つの扉のどちらかをあなたが開けて、
その向こうに景品があれば、それがもらえる、というゲーム。


さて、あなたは最初に選んだ扉をそのまま開けるべきでしょうか?
もう片方の扉を開けるべきでしょうか?
それとも、当たる確率は半々、どちらを開けても関係無いでしょうか?

テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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No title

司会者が選ばなかったひとつを選ぶのがベストじゃないかな
最初に選んだ奴は単純に1/3
残りのふたつは2/3な訳ですから
そこから不正解をひとつ、外すわけだから、司会者が開けなかった方の確率は実質、2/3かと

No title

お久しぶりです。
1/2 vs 2/3 で、司会者が開けなかった方のドアが確率が高いと思いますが、50%と66.6%に大きな違いがあるかと言えば、この場合ちょっと微妙ですね。変えた方が当たる可能性は1.3倍程度ですから。
#単勝1.3倍の一番人気馬が実際に勝つ確率はどの程度なのでしょうかねえ?今日の宝塚記念は単勝オッズ1.5倍のディープスカイが3着に敗れました。
(ひ)

No title

最初に自分が選んだ扉が当たりの確率が3分の1で
司会が選ばなかった扉が当たりの確率が2分の1だと思うので、
(自分が選んだ扉を含めて2択になるので2分の1)
もう片方の扉にチェンジする方がいいと思います。

No title

>(ひ)さん
お久しぶりです。
50%のケースで最初のドア、66.6%のケースでもう片方、という事は、
最低でも16.6%、1/6のケースで、2つともに景品がある事になってしまいます。

>kashさん
1/3のケースで最初のドア、1/2のケースでもう片方だと、
最低でも1/6のケースで、どちらにも景品が無い事になってしまいます。

景品はどちらか片方、そして片方だけにあるので、
2つの確率を足したら1(100%)にならないといけません。

知ってるので・・・

箱のパラドクスとも言われるやつですね。

パラドクスと言われるのは

正解を聞いても理解できないひとにとっては

パラドクスだからだそうです。

No title

いいパズルですよね。
以下のも同じように、確率の問題です。
こちらは穴探しという感じですが。

片方には片方の倍の金額が入った封筒がある。
片方(Aとする)の金額をxとすると
他方にはこの倍か半分の金額が入っている。
すなわち期待値は3x/2である。
ところが今、AにはBの倍か半分の金額が入っているので、その期待値は(3/2)*(3x/2)=9x/4である。
ところが今、Bには・・・
となって発散してしまう。
どこがおかしいのだろうか。

(ひ)さん

競馬はどうでしょうね。
競馬場が全レースで儲けている事を前提とすると、
単勝1.5倍と言う事は、その馬に賭けられていた額が、
賭け金総額の1/1.5 = 2/3以下という事になります。
(そうでなければ、配当を全額払った場合に競馬場が損をするので)

人気以上の情報は、倍率だけではどうもわかりませんね。
どれくらいの人気で、実際にどれくらい勝つのか、
という解析を実際にやってみない事には。

swearingさん

解答の記事でも書きましたが、
直感に反した部分はやっぱりあると思います。

一度しっくり来たあとでは、
何のこともないとも思いますが(笑)

lambdaさん

「ところが今、AにはBの倍か半分の金額が入っているので、その期待値は(3/2)*(3x/2)=9x/4である。」
の部分が間違っていますね。

Bに2x入っている場合、Aにはその半分、
Bにx/2入っている場合、Aにはその倍入っていると、
すでに決まっていますから、
Bの期待値に3/2を掛けるのはナンセンスです。

単純に、Bの期待値に3/2を掛ける事でAの期待値が求められるのは、
Bの値に関わらず
Aの値が半々の確率でその倍か半分になる時です。


上のようにステップを2回以上踏むと詭弁ですが、
ステップ1回だけで、
片方の中の金額を教えてもらったら、もう片方を選ぶべき、
と、どちらの金額を聞いた場合にもなるのは面白いですね。
(教えてくれる人の悪意を想定しなければ、笑)


とここまで書いたんですが、
lambdaさんは、さらに微妙なところに入り込もうとしてたのかな、
とも思います。
だとしたら、フォローアップのコメントできればお願いします。

確率ってなんとなくしっくりこないですよね

まず、訂正をさせてください。
(2/2+1/2÷2)=5/4なので僕の先のコメント中すべての3/2のfactorは5/4でした。
すみません。

--
ここまででも十分面白いな、と思って止めたのですが、確かにもう少し先がありますよね。アシュリーさんの書かれ方をみて、多分これについて思われたのではないかと推測して書いてみます。

>ステップ1回だけで、
>片方の中の金額を教えてもらったら、もう片方を選ぶべき

ここの部分の不思議さを露にしてみます。
問題の述べ方を変えただけ、とも言えますが・・

今Aを選んだとする、このときBの期待値は5a/4であるから、変えた方が得となる。
ところが、今始めに選ぶものをBとしたときも、やはりAの期待値は5b/4であり、変えた方が得になってしまう。
だとすれば、始めに思い付いた方とは逆を選んだほうが得になるのだが、そんなことがあっていいのだろうか?

lambdaさん

あ、5/4ですね。
これは、自分もキャッチしなかったので(笑)

面白いと思った部分は、
lambdaさんの書かれてる通り、
値を想定した時点で、もう片方のほうが良い選択になる、という所です。


思うに、1つの値を想定する時点で間違っているんでしょう。
この問題を確率論的に扱うには、
AとBに入っている金額をx,yとして、
確率分布をP(x,y)で表す必要があると思います。

Aの中にxが入っている、と言う仮定は、
P(x,2x)かP(x,x/2)のどちらかが0ではないと言う事です。
元の問題の条件では、
どちらの封筒に倍の金額が入っているかは分からないので、
P(2x,x) = P(x,2x)とP(x/2,x) = P(x,x/2)のどちらかが0ではない事になります。

つまり、Aの中にxが入っている可能性があるとすると、
2xまたはx/2が入っている可能性もあるので、
1つの値を仮定する事自体が、確率分布と相容れないことが分かります。


片方だけの金額について情報がある場合、
もう片方を選んだ方が良い、というのは正しいと思います。

No title

綺麗な考え方で、まったくその通りだと思います。
確率密度で考えられたということなので、このコメントの最後にもう一つ、考えたことも述べたいと思います。

まず、この問題について。
僕がこの問題で違和感を感じた点はまったくアシュリーさんと同じなのですが、それは端的にはAの値が未確定(確率変数)であるのに定数として定めたこと
にあります。

確率変数を固定して、xで考えたのなら、他のケース(アシュリーさんが言われたような、2x,x/2のケースですね)も考えて、それぞれの確率を掛けて期待値を求めなければなりません。(ただしこの場合、xがすべての実数たりうるので、まともな解答に至るには上手にxを定義しなければなりません)

すなわち、Aの値は正しくは期待値で与えられるべきもので、少ない方の金額をxとしたとき、3x/2となります。
もちろんBの方の(期待)値も3x/2となって、等しい値になります。
ここで、注意すべき点は、二つの期待値の和がちゃんと3xになっている点です。
先の考え方ではx+5x/4=9x/4になってしまいますが、ここでは3xか3x/2にならなければならないはずです。

サイコロの値をxとして様々な計算をするとき、xは1-6の値すべてを取りうるのだ、ということを忘れる人はいませんが、この問題では、Aの値はもう決まっているのだから(本当はまだわかっていない)ある一つの決まった値xとすることができる、と感じてしまうところに罠があるのだと思います。

思うにこの問題の根本にあるのは、シュレディンガーの猫のように、決まっているはずの事象が実はまだ確率的に揺らいでいるのだということで、ここに不思議さあるいは美しさの頂点が現れます。
この問題について、僕たちは確率密度を考えることになりましたが、その背後にはしっかりとその手順の正当さを示す道理が横たわっていて、僕たちを導いてくれていたのです。

と、少し勢い付けて書いてしまったので語弊がないか心配ですが、それに加え、僕の感じた不思議さを十分に伝えられたかも不安です。
いつかこのあたりのことはしっかり書きたいと思っています(実は一度書いたことがありますが、消えてしまったのです)。
長文失礼しました。

lambdaさん

この問題にしても、モンティ・ホール問題にしても、
背景にある確率分布が分からないのに、
持っている情報と関係の無い確率分布を押し付けてしまう事から
ミスが起こっていますよね。
(金額は決まっているはずだからx、2択だから半々)

生兵法覚悟で思いつきをそのまま書いてしまうと、
確率を、客観確率、頻度主義といわれる見方で捉えていると、
起こりやすいミスなのではないかな、と。

こういう問題を見ると、
確率と言うのは、観測者が持っている情報を元にして、
主観的に判断するしかないもの、と言う、
主観確率、ベイズ主義の見方がよりしっくりきます。

ところで、解答の記事に載せた「ブラック・スワン」は、
確率分布が分かっていない事について、
分かっているかのように振舞う事の危険性を書いた本です。
ヒュームやポッパーの哲学などについても書いてあって、
科学の手法についても考えさせられる本なので、オススメです。
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プロフィール

アシュリー

Author:アシュリー
カリフォルニア州バークリー在住、元スポーツジャンキーのアシュリーです。

今観るスポーツは、アーセナル(サッカー)とグリズリーズ(バスケ)、あとテニス。

専門の物理ネタ以外にも、色々書いていくつもりです。

Twitterをハンドル名Inoueianでやっています。

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