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風邪

今朝は6時間くらい寝て目がさめたんですが、2度寝して起きたら午後4時。ビックリしましたね~(笑)

旅行中、妹に移されました。主に喉と鼻がやられていて、熱とかはあまりないんですが、ここ数日、頭の回転が鈍い感じはありました。

まぁ、ここからは上り坂だと思うのでご心配なく。
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マーティン・ガードナー

マーテイン・ガードナーが亡くなりました。1956年から1981年まで、パズルなどを通じて数学の面白さを伝えるコラム"Mathematical Games"(「数学ゲーム」)をアメリカの科学雑誌Scientific Americanに連載していた人です。95歳でした。(New York Timesの訃報

日本での知名度はどうなんでしょう?彼のコラムは日経サイエンスに連載されていたようです。

Martin Gardner

81年までしか連載していなかった上に、SciAmを購読していたことも無い自分がなぜ知っているかと言うと、まずは親が彼の本を何冊か持っていたんですね。1つは、パラドックスをテーマにして彼のコラムを集めたもので、楽しく読んだ記憶があります。

ガードナーの本で初めて出会ったパラドックスには、例えばこういうのがあります。(ヒルベルトの無限ホテルという有名なものです)

ある所に、無限に部屋のあるホテルがありました。部屋には、1,2,3と番号が付けられていて、これが永遠に続くんです。

ある日、客が1人現れたのですが、あいにく満室。でも、ホテルのオーナーには対策がありました。部屋を借りている人それぞれに、元の部屋より番号が1つ大きい部屋に移ってもらったんです。こうすると1番の部屋が空くので、新しいお客さんに1番の部屋を貸すことができました。

客が5人、10人、100人と来ても、その数だけ他の客に動いてもらえれば、空き室が作れるわけです。


それがある日、無限大の新客が同時に現れました。どうすればいいのでしょう?

オーナーは、すでにいる客達に、元の部屋の番号の2倍の数字が付いた部屋に移ってもらいました。こうすると、偶数番号の部屋は満室ですが、奇数番号の部屋は全部空っぽです。奇数の数は無限大なので、新客全員に空室を割り当てることが出来ました。

部屋の数が有限だと出来ないはずの事が、無限になると出来てしまう、というのがパラドックスなんですね。

もっと詳しく読みたい人は、ゲオルク・カントールの話が出てくる一般向けの数学の本を探してみて下さい。


ガードナーを僕が知っていたもう1つの理由は、彼が"Mathematical Games"連載を辞めた後、次の連載をはじめたのが、主にAI研究をしているダグラス・ホフスタッターだったんです。ホフスタッターのコラムは、"Metamagical Themas"という題。意味としては「超魔法的テーマ」。これはMathematical Gamesの文字を並び替えたもの、アナグラムです。

"Metamagical Themas"の話を伯父に聞いて、このコラムを集めた本を読んでみたんです。少し当時の自分には難しかったですが、面白さはなんとなく伝わりました。この中でもガードナーの話が出てきて、色々と知ることが出来ました。


ガードナーは実は、本職の数学者ではなく、大学で数学を勉強したわけでもなかったんです。それでも、数学の楽しさを素人に伝えるための情熱や、理解力、説明力というのはありあまるほど持っていました。彼に代わるような人はまだ出てきていない、とも言われています。

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ジャンル : 学問・文化・芸術

帰りました

昨日の夜帰りました。

夕方帰るはずだったんですけどね。予定の飛行機のサンフランシスコ到着が、オバマ大統領のサンフランシスコ到着と被って、遅れる事になりました。大統領が空港にいる間は、安全確保のために他の飛行機は着地出来ないとの事。大変ですね。

他にも変なトラブルのある旅でしたが、シカゴはやっぱり楽しいところです。この辺の話はブログでいくらか書くと思います。

テーマ : アメリカ旅行
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1週間休みます

明日の夜出発の飛行機でセントルイス。2泊したあとシカゴで3泊してきます。

多分ブログは更新できないかな?Twitterはあるかも。あんまり期待しないで下さいな。

シカゴは4回目になります。

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(完結編?)SF的ネタ

ネタにマジレス的な感じもする「宇宙船地球号」の話。でも、ショートショートが書けそうな気がしてきたからいいのかな(笑)続きです。(前回


前回に書いたほどのエネルギーが必要となると、地球上で考えられるエネルギー源は1つしかありません。それは、質量エネルギー。E=mc2ですね。(ひ)さんが前の記事でコメントしていた、核融合、核分裂などの原子核エネルギーが主な可能性です。(陽子とか中性子を消滅させられればさらに良いですが、これは本当にSFネタです)

1033Jという莫大なエネルギーを得るためには、当然かなりの量の物質が必要になります。例えば、水素を核融合させてヘリウムを作る場合で考えてみます。

この場合、1つの水素につき得られるエネルギーは、約10-12J。この反応だけで全部のエネルギーを捻出しようとすると、1018kgの水素が必要になります。メガトンが109kgなので、10億メガトン、ですね(笑)

水素は、地球上には沢山ある元素なので、資源量的には問題ありません。例えば海水の約1%から水素を取り出せば、上の量になります。(計算あってるかな…)

問題なのはやっぱり、技術的にそんなに大量の水をプロセス出来るのか、ですね。


というわけで、本当に前回に書いたほどのエネルギーが必要なのかどうか考えてみましょう。

実際に太陽系の外に出ると思われる宇宙船があるのかというと、あります。1977年に打ち上げられたボイジャー1号と2号などの無人探査機です。(トリビア:2号の方が1号より先に打ち上げられた)

こういった探査機が、打ち上げ当初から太陽系の外に出られる速度を持っていたかと言うと、そうとは限りません。惑星の近くを通り過ぎる際に、軌道をうまく取れば加速させてもらえるんですね。スイングバイ、重力アシスト、重力ターンなどと言われるテクニックです。(Wikipedia

つまり、他の惑星の近くをタイミング良く通り過ぎることが出来れば、エネルギーが相当節約出来るわけです。どの軌道が一番効率が良いのかは正直知りませんが、普通に火星、木星辺りを目指すのか、それとも、一度太陽に近づく方向に軌道を取って金星に助けてもらうか(土星探査機カッシーニはこの方法でした)。色々とオプションがあります。

でも、これでどれくらい節約出来るんだろう?必要なエネルギーを何桁も減らせるとは思えない…


adbmalさんが前回のコメントに書いてくれたもう1つの課題は、太陽系の外に出た後の環境の維持。

太陽系の外に出た後は多分、何百、何千年と他の恒星の近くまで辿り着けません。その間、地球の持っている熱はどんどん放射されてしまい、結局は絶対零度から数度、という低温まで冷えてしまうはずです(どれくらいの期間かかるのかは計算していません)。どうやって残しておきたい生き物を生き続けさせるのか、という事ですね。

自分の考えついた中でのベストアンサーは、環境を維持しない、です(笑)もう最初から諦めてしまって、必要最小限のものだけを動けるようにしておくんですね。

生き物は、遺伝情報とその情報から生き物を作るための装置(これは、生き物自体かもしれません)だけにして、冷却保存します。この冷却保存、最初の頃はエネルギーが必要ですが、地球自体が冷えてくれば放って置いても暖かくならないようになります。

目的地の恒星の近くまで来て、元の地球と同じ温度を保てる軌道に落ち着いたところで、これを解凍。元の環境を取り戻すために遺伝情報を解読して生き物を作り出すんですね。ここまでの軌道の制御も含めて、なかなか手の込んだロボットが必要でしょう。


こんなん、上手く行くのかなぁ?


ま、実際にこんな技術力があれば、地球のような惑星を見つけて、もっと小さな宇宙船でそこに行った方が明らかに効率がいいんです(笑)宇宙船地球号は、夢のある話というか、夢でしかない話、という事で。

テーマ : 物理学
ジャンル : 学問・文化・芸術

(続き)SF的ネタ

「地球を改造して、宇宙船にすることは出来るんですか?」
という質問への、自分なりの答えです。まずは、物理的にどういうハードルを超えないといけないのか。

質問をもう少し厳密にしておくと、「地球を改造して」というのは、地球の質量のほとんどを動かすと言うこと。半分以上、としてもいいです。難しさはあまり変わらないはずなので。「宇宙船にする」というのは、太陽の重力圏の外に出られると言うこと。(これは物理学的にはちょっと厳密さがまだ足りませんが、いいとします)


最初に、どれくらいのエネルギーが必要なのか。

重力の問題を考えるとき、高さに置き換えて考えると分かりやすくなります。
gravitational potential
↑の図は、天体の周りの重力ポテンシャルの大きさを表したもの。例えば真ん中にあるのが太陽だとすると、物体を止まった状態でどこかに置くと、太陽に向かって落ちて行ってしまいます。

地球などの惑星は、ぐるぐると回る遠心力のおかげで、真ん中まで落ちないでいられる、というわけ。

地球の動く速さを上げると、もう少し高いところ、つまり太陽からもっと遠い軌道で回れることになります。そしてさらに速さを上げると、外の平らなところまで行けます。これが目標。


元々軌道を回っていた物が重力圏の外に辿り着くためには、運動エネルギーを2倍にしないといけない、というのが物理学では昔から知られています。(ビリアル定理、素人向けではないです)

運動エネルギーは、
blog.jpg
質量mに、速度vの2乗を掛けて、2で割ればいいんですね。

地球の質量は6×1024kg。太陽の周りを回る速度は、秒速30km。これを代入すると、
blog2.jpg
34桁のすごい数字が出てきました。ジュール(J)という単位にどれくらい馴染みがあるのか分からないんですが、1ワットというのは、1秒につき1ジュールのエネルギーを使う、という意味です。

今の地球上の発電所を全部合わせると、約15テラワット(15×1012 W)の電力が作られています。これを全部地球を動かすのに回しても、太陽系の外に出るには数兆年かかります。宇宙が生まれて138億年と考えられていますから、その10倍以上かかるんですね。

…無理そう。

でもこれは、今の技術でやろうとした場合。将来、もっとずっと効率を良くエネルギーを使えるようになっているとすれば、一概に無理とは言えません。


もう1つのハードルは、運動量。上に書いた量のエネルギーを使っても、地球を動かしたい方向に推し進めるように使わないと、無駄になってしまいます。

地球を推し進める仕組みとしては、基本的には今も使われているロケットの原理が一番良いのではないかと思います。進行方向の反対側に向かって物質を放出して、その反動で地球本体を前に進めるんです。(地球の外はほぼ真空なので、空気をかいて進むプロペラなどの仕組みは論外です)

これは、運動量の保存を利用した仕組みです。噴射する前の、地球+燃料の運動量は、噴射した後の、地球+燃料の運動量と一緒。
uesc_03_img0155_20100513031146.jpg
燃料が後ろに向かって飛んで行っている場合、その燃料の後ろ向きの運動量の大きさの分、地球の運動量が前向きに大きくなるんです。

運動量は、質量×速度。より多くの質量を、より速く後ろ向きに噴射出来れば、地球の速度を大きく変えられる、という事。


じゃあ、地球の運動量を、太陽系の外に出られるだけの大きさにしようとすると、どれくらいの燃料を、どれくらいの速さで噴射しないといけないんでしょうか。

燃料が、地球の1%、100分の1の質量を持っているとすると、地球の100倍の速度で噴射しないといけません。上に書いたように、地球の速度は秒速30kmなので、燃料の速度は秒速3000km。光速の100分の1です。(相対性理論はまだ大きく効いてこない速度です)

これまた、すごい数字ですね。10秒くらいで地球を一周できる速さです。

さらに問題なのが、この秒速3000kmというのは、燃料が大気圏の外に出てからの速度だという事。燃料を、地表から上に向かって秒速3000kmで噴射しても、空気との摩擦で相当遅くなってしまうはず。大気自体への影響も良いものではないでしょう(苦笑)一番無駄がないのは、10kmほどの長さのダクトを宇宙に向かって取り付けることかも知れません。(秒速3000kmで大量の物が通り抜けても大丈夫なダクトかぁ…)


とにかく、今の技術とは比べ物にならないものが必要なのは確かそうです。でも、いくつかのアイディアや、抜け道のようなものも考えてみました。長くなったのでそれは次回。

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SF的ネタ

mixiのあるコミュで、こういう質問がありました。

地球を改造して、宇宙船にすることは出来るんですか?


出来るとすれば、どういう仕組みで出来るのか。出来ないとすれば、なぜ出来ないのか。ちょっと考えてみて下さい。自分なりの答えはありますけど、コメント大歓迎です。

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ダークマター、進展?

去年の末に、CDMSというダークマター(暗黒物質)を検出しようとする実験の結果が発表されました。

その時のブログ記事は、この辺
世紀の大発見?←結果についての話。

結果の話に到るまでの予備知識(結構長いですねぇ。でも噛み砕いてありますから時間のある時にどうぞ)
足りない物質~その1
足りない物質~その2
足りない物質~その3
ダークマターへの3つの道
WIMP
CDMS
WIMPの資格

結論としては、ダークマターが実験装置と衝突したのが、2回検出されたかもしれない、という事でした。かもしれない、というのは、検出された衝突は、どちらもダークマターとは関係なく、もう知られている物質との衝突かも知れない、という事です。

これがもしダークマターだったとしても、CDMSという実験は、ギリギリ検知できるか出来ないか、というレベルの実験だったわけです。


CDMS以外にも、ダークマターを発見しようという実験がいくつか行われています。今週になってその1つ、XENON100が、最初の結果を発表したんですね。

XENON100は、ダークマター探知機として100kgのキセノンを使う実験。名前の由来は…そのまんま(笑)


キセノンのように液体を使った実験が、CDMSのように超伝導体を使う実験と比べて有利なのは、体積をどんどん増やして、ダークマターがぶつかるためのターゲットを大きく出来ること。すでに、1トンクラスのキセノン探知機を使った実験が、日本でもうすぐ始まる予定です(XMASS実験)。

100kgでギリギリまで迫った場合には、1トンあれば確実にダークマターが探知出来るはず、というわけ。


とにかく、XENON100が今回発表したのは、去年の10~11月に行われた、延べ11日間のテストランの結果。そしてこの11日間では、ダークマターの衝突だと思われるイベントは無かったそうです。

ガッカリしそうなところですが、これはまだテストラン。これを今発表する理由は、ダークマター以外の物が装置にぶつかっても、ダークマターと間違うことはないよ、というのを宣伝するためです。今後XENON100が、ダークマターを発見した、と発表する事があれば、それは信憑性がかなり高いわけです。


XENON100がどうやってダークマターを検知するつもりなのか、など今後書くかもしれません。自分的には、CDMSより分かりやすいです。

この話については、New York Timesに記事がありました。

論文はこちら

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理数系の芸術性

一般に、数学や科学はおカタイ学問という事になってますが、これほど本質を捉えていない話もなかなか無いです。


科学の発見というのは、数々の実験と観測の結果から、パターンを見出して、全てを説明できる説を思いつく事。今まで誰も考えつかなかった事を考える事です。創造性とはこういうものだ、という例に使えるような活動です。

数学は、個人的には芸術の1つとして捉えています。エレガントな証明には、結晶のような美しさがあります。純粋数学というのは、役に立つかどうかとは全く別の価値観を持った世界。詩の分からない自分が言うのもなんですが、数学の美しさを感じ取れない人がいるのを思うともったいないな、と思います。


それが、なんでおカタイというイメージになるかと言うと、答えが1つしか無い→融通が利かない、という事なんでしょうね。

確かに、論理的に矛盾があったり、自然現象にそぐわない話は、間違っていると言って排除されてしまいます。空想するのはいいけれど、それを検証しなければ科学にはならない、とは以前書きました

ただこれは、俳句は五七五じゃないといけないと言うような制約に過ぎない、と思うんですね。芸術にも制約がある事はあって、むしろその制約の中でどうやって表現するのか、というのが面白さの1つだったりします。

学校で教わる科学、数学というのが、すでに知られている結果を事実として学ぶ教科になってしまっているのも、間違ったイメージの元でしょう。公式を暗記しているだけで数学や物理ができているように思っている人を見ると、これはもう悲しいとしか言えないです。


数学の美しさについては、古典と言っていい本があります。20世紀初頭のイギリスの数学者G.H.ハーディの「ある数学者の生涯と弁明」(A Mathematician's Apology)。

原書は、とてつもなくキレイな文章で書かれています。詩的な意味じゃなくて(それは前回書いたように良さが分からないので)、分かりやすく、論点から目を逸らすような無駄な寄り道をしないと言う意味で。

A Mathematician's Apology (Canto)A Mathematician's Apology (Canto)
(1992/01/31)
G. H. Hardy

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ある数学者の生涯と弁明 (シュプリンガー数学クラブ)ある数学者の生涯と弁明 (シュプリンガー数学クラブ)
(1994/10)
G.H. ハーディC.P. スノー

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科学についても、クリエイティブな部分を強調した本はもちろんあるんですが、ハーディと並べて語れるようなものは残念ながら知りません。


ハーディの本には、チェスのようなゲームの芸術性についても一言書いてあります。

チェスにハマったことがあり、今は囲碁にハマっている自分としても思うところがあります。勝ち負けにはもちろんこだわりがあるんだけれど、それよりも、キレイな手を打ちたいんですね。

最初はびっくりするかも知れないけれど、じっくり見てみると必然性のある好手。チェスや囲碁のように良く出来たゲームでは、最善手と言うのは大抵そういうものになるのだと経験上感じています。

ハーディが言うには、チェスは数学の一部なんですね。それは正しいんですが、説明すると長くなりそうなので、この辺は実際に読んでみて下さい。

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始めました。

ブログネタに出来るほど練られていない思いつきは、こっちの方に書くかな、と。主に英語ですが…

IDはhundun1983です。

もうTwitterをやっている読者の方で、英語でもOKな人、ついでに英語の勉強しようと思ってくれるような人にはフォローしてもらえれば、と思っています。

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プロフィール

アシュリー

Author:アシュリー
カリフォルニア州バークリー在住、元スポーツジャンキーのアシュリーです。

今観るスポーツは、アーセナル(サッカー)とグリズリーズ(バスケ)、あとテニス。

専門の物理ネタ以外にも、色々書いていくつもりです。

Twitterをハンドル名Inoueianでやっています。

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